Journées thématiques
de Cergy-Pontoise

• 9h15: Café d'accueil
• 10h-11h: Alix Deleporte (1/3)
• 11h15-12h15: Paul-Emile Paradan (1/3)
  Déjeuner
• 13h45-14h45: Julien Marché (1/3)
• 15h00-16h00: Alix Deleporte (2/3)
  Pause café
• 16h30-17h30: Paul-Emile Paradan (2/3)

• 10h-11h: Julien Marché (2/3)
• 11h15-12h15: Paul-Emile Paradan (3/3)
  Déjeuner
• 13h45-14h45: Alix Deleporte (3/3)
• 15h00-16h00: Julien Marché (3/3)

• Alix Deleporte (Université Paris-Sud, Orsay). Analyse semiclassique et opérateurs de Berezin--Toeplitz
  
  Résumé : Ce minicours a pour but d'introduire les opérateurs de Berezin-Toeplitz, leur utilisation en physique mathématique, et les techniques récemment développées pour leur analyse.
  
      Je commencerai par présenter la construction des opérateurs de Berezin--Toeplitz "sur l'espace plat", leur lien avec les opérateurs différentiels et pseudo-différentiels (notamment via la transformée en paquets d'onde), avant de généraliser progressivement à d'autres situations géométriques.
  
      Une grande partie de la littérature concerne l'analyse semiclassique dans le cas lisse ; j'expliquerai dans ce cadre comment le formalisme Berezin--Toeplitz permet de mieux comprendre des résultats "habituels" de propagation et de théorie spectrale en mécanique quantique.
  
      Des développements récents concernent le cas analytique, qui a des applications plus fines notamment en géométrie et en probabités ; je présenterai les tenants et aboutissants de ces techniques. ( SLIDES de l'exposé)
  
  
• Julien Marché (Sorbonne Université, Paris). Quantification géométrique des variétés de caractères de surface dans SU_2
  
  Résumé : A l'aide de modules d'écheveau (liés au polynôme de Jones) réduits aux racines de l'unité d'ordre l, on construit une quantification de la variété des caractères d'une surface dans SU_2 de paramètre hbar=1/l. L'action du groupe modulaire sur la variété des caractères se relève en une représentation projective aux propriétés remarquables. L'objectif du minicours sera d'expliquer à quel titre cette construction topologique mérite le nom de quantification.
  
  Découpage prévisionnel:
  1. On montre comment une décomposition en pantalons d'une surface permet de voir la variété des caractères d'une surface comme un système intégrable. On discute sa préquantification (fibré de Chern-Simons) et on décrit ses fibres de Bohr-Sommerfeld.
  2. On décrit la quantification à l'aide de modules d'écheveaux, la base canonique associée à une décomposition en pantalons et la représentation quantique.
  3. On calcule la trace semi-classique des opérateurs courbe. On en déduit par exemple une preuve que les représentations quantiques sont asymptotiquement fidèles. Si le temps le permet, on explique en quel sens ce sont des opérateurs de Toeplitz.
  
  
  
• Paul-Emile Paradan (Université de Montpellier). Quantification géométrique et série discrète holomorphe
  
  Résumé : Lorsque l’on travaille avec un groupe de Lie compact K, on est amené à étudier deux types d’objects:
  
  • Un objet « classique », le cone de Horn Horn(K), qui décrit l’ensemble des triplets (O_1, O_2, O_3) d’orbites adjointes de K tels que O_3 est contenu dans O_1 + O_2.
  • L’analogue « quantique » concerne les problèmes de branchement en théorie des représentations. On étudie le semi-groupe LR(K) formé des triplets de poids dominants (a,b,c) pour K, tels que la représentation irréductible V_c est contenue dans le produit tensoriel de V_a avec V_b.
  
  
      Un résultat classique nous dit que Horn(K) est (dans un certains sens) la limite semi-classique de LR(K): ici le théorème la Quantification commute la Réduction, [Q,R]=0, est le lien fondamental entre ces deux d’objets. D’autre part, dans le cas de K=U(n), nous avons deux phénomènes remarquables:
  
  1. le théorème de Saturation de Knutson-Tao permet de voir que le cone Horn(U(n)) détermine entièrement le semi-groupe LR(U(n)).
  2. le cône Horn(U(n)) admet une description récursive par rapport à n (c’est la conjecture de Horn démontrée à la fin des années 90 par Klyachko et Knutson-Tao).
  
  
      L’objet de ce mini-cours est d’expliquer comment ces objets admettent des analogues « non-compacts » pour certains groupes groupes réductifs réels G, comme U(p,q). Dans cette situation,
  • L’objet classique Horn_{hol}(G) est associé à certaines orbites adjointes de G que l’on appelle holomorphes: ce sont celles qui possèdent une structure Kählérienne naturelle.
  •     L’objet quantique LR_{hol}(G) concerne les questions de branchement des représentations de la série discrète holomorphe de G (représentations introduites dans les années 50 par Harish-Chandra).
  
  
      Nous verrons que dans cette situation, beaucoup des propriétés précédentes demeurent: Horn_{hol}(G) est la limite semi-classique de LR_{hol}(G) et le théorème [Q,R]=0 est encore satisfait. De plus, dans le cas de G=U(p,q), on a encore les mêmes phénomènes remarquables :
  1. Le cone Horn_{hol}(U(p,q)) détermine entièrement le semi-groupe LR_{hol}(U(p,q)): c’est un phénomène de saturation.
  2. Le cone Horn_{hol}(U(p,q)) admet une description récursive par rapport aux variables p et q.