Séminaire de Géométrie et Dynamique
de Cergy-Pontoise

• 22/04/2024.
  Gaëtan borot (Humboldt): Récurrence topologique non-perturbative et (potentielles) applications
  Résumé: La récurrence topologique permet de construire, à partir de la donnée d'une courbe spectrale lisse de genre 0, deux types d'objets naturels:
  
  • une famille de multi-différentielles méromorphes sur C^n (corrélateurs bosoniques)
    
  • une famille de spineurs sur C^n (corrélateurs fermioniques, ou “fonctions d'ondes”) qui vérifient une équation différentielle dont les singularités sont contrôlées (courbe quantique)
    
    
  Lorsque C est de genre > 0, ces spineurs n'ont pas de bonnes propriétés. Il est possible de corriger la construction en utilisant la fonction thêta de Riemann et ses dérivées pour rétablir les propriétés attendues: c'est la “récurrence topologique non-perturbative”. Ce formalisme a des applications intéressantes dans trois cadres où apparaissent des courbes spectrales de genre > 0: les modèles de matrices aléatoires “multi-coupures”, les variétés miroirs de CY3, et les variétés caractères PSL(2,C) de noeuds hyperboliques.
  
  J'exposerai cette construction, ferai l'état des lieux des propriétés connues ou attendues, et en expliquerai les applications - la dernière faisant partie d'un programme inachevé.
  
  L'exposé est principalement basé sur des travaux d'il y a une dizaine d'années avec Bertrand Eynard.



• 25/03/2024.
  Elba Garcia-Failde (Sorbonne Université): Topological recursion as a mean to quantise spectral curves
  Résumé: For some decades, deep connections have been forming among enumerative geometry, complex geometry, intersection theory and integrability. Topological recursion is a universal procedure that helps building these connections. It associates to some initial data called spectral curve, consisting of a Riemann surface and some extra data, a doubly indexed family of differentials on the curve, which often encode some enumerative geometric information, such as volumes of moduli spaces, matrix model correlation functions and intersection numbers. After an introduction to topological recursion and its relation to different topics, I will focus on the integrability side of the story. The quantum curve conjecture claims that one can associate a differential equation to a spectral curve, whose solution can be reconstructed by the topological recursion applied to the original spectral curve. I will present this problem in some simple cases and comment on some of the technicalities that arise when proving the conjecture for algebraic spectral curves of arbitrary rank, like having to consider non-perturbative corrections. The last part will be based on joint work with B. Eynard, N. Orantin and O. Marchal.
  
  
• 04/03/2024.
  Pierre Godfard (Sorbonne Université): Hodge structures on quantum representations of Mapping Class Groups
  Résumé : Modular functors are families of finite-dimensional representations of Mapping Class Groups of surfaces, with strong compatibility conditions. Mapping Class Groups of surfaces being isomorphic to fundamental groups of moduli spaces of curves a modular functor can be alternatively seen as a family of flat vector bundles on moduli spaces of curves. Each choice of a Lie algebra g and an integer r (level) yields such a functor via the theory of quantum groups.
  In this talk we will define the notion of a Hodge structure on a modular functor and explain how to obtain cohomological field theories from it.
  In the case g=sl2 and r odd, using a geometric construction based on homological models of Felder-Wieczerkowski and Martel, we will prove the existence of the Hodge structure in genus 0 and compute the corresponding Hodge numbers. We will also discuss potential generalisations to higher genus.
  
  
• 26/02/2024.
  Jules Martel-Tordjman (CY Université): Vers des TQFTs homologiques
  Résumé: Les théories topologiques des champs quantiques (TQFTs) sont une idée qui provient de la Physique. Elles sont des représentations linéaires et fonctorielles de catégories de cobordismes entre surfaces si bien que topologiquement elles fournissent, lorsqu'on sait les construire, des familles d'invariants pour tous les objets topologiques de basse dimension. Des familles hautement organisées (en catégorie) telles que les invariants discutent les uns avec les autres. Les TQFTs nouent un lien intime entre les catégories monoïdales et la topologie, ainsi les constructions réussies jusqu'ici furent purement algébriques et le contenu topologique des invariants reste l'enjeu des principales conjectures de la topologie quantique. Je présenterai le travail que nous avons entrepris de reconstruire ces TQFTs et les algèbres qui les encadrent à partir des homologies tordues d'espaces de configurations sur les surfaces, gardant ainsi la topologie à l'oeil. Si le temps le permet, j'expliquerai pourquoi ces modèles homologiques apportent des nouvelles clés pour comprendre l'information topologique cachée dans ces invariants, par exemple par le prisme des représentations linéaires de groupes modulaires qu'ils fournissent. (avec M. De Renzi ou R. Detcherry).
  
  
• 05/02/2024.
  Alix Deruelle (Université Paris sud): Sur la conjecture d'Hamilton-Lott en dimensions supérieures
  Résumé : La conjecture due à Hamilton-Lott dit qu'une variété riemannienne de dimension 3 qui est Ricci pincée doit être compacte ou plate. Si la courbure de la métrique est bornée, nous avons démontré en 2022 cette conjecture à l'aide du flot de Ricci en établissant un résultat de stabilité local en temps et en espace. Récemment, nous redémontrons cette conjecture en l'étendant aux dimensions plus grandes si la géométrie est non-effondrée à grande échelle. Nous expliquerons comment la notion de solutions auto-similaires intervient ici et de façon intrinsèque à toute solution arbitraire du flot de Ricci démarrant d'un cône métrique.
  
  
• 29/01/2024.
  Gabriel Calsamiglia (Universidade federal Fluminense): Compactification du feuilletage de Painlevé VI et monodromies des structures projectives à 4 singularités Fuchsiennes sur la sphère de Riemann.
  Résumé: Le feuilletage de Painlevé VI modélise les déformations isomonodromiques de structures projectives à 4 singularités non-apparentes et une singularité apparente sur la sphère de Riemann. Nous présentons une compactification de ce feuilletage holomorphe en feuilletage singulier. De ses propriétés nous tirons comme conséquence des propriétés des monodomies des structures projectives à 4 points singuliers non-apparents sur la sphère de Riemman.
  
  
• 22/01/2024.
  Pedro Vaz (Université de Louvain): Categorification of Verma modules and applications.
  Résumé : In this talk I will give an overview of the program of categorification of Verma modules and its applications. I will explain one application to the topology of links in the solid torus. An emphasis will be given to open problems and future challenges.
  
  
• 04/12/2023.
  Adrien Brochier (Université Paris Cité): Une construction combinatoire d'associateurs elliptiques
  Résumé : La théorie des associateurs de Drinfeld donne une façon systématique de construire des catégories monoidales tressées à partir de certaines structures catégoriques "classiques". Cette construction est l'ingrédient essentiel du lien profond qui existe entre la topologie de basse dimension et la quantification par déformation. Ce procédé peut être appliqué en particulier à la catégorie des représentations d'un groupe algébrique réductif G, auquel cas la catégorie monoidale tressée obtenue est équivalente à celle des représentations du groupe quantique associé à G. Cette construction admet aussi une version "universelle" à partir d'une certaine catégorie de diagrammes de Feynman, qui donne une version combinatoire de l'invariant d'entrelacs de Vassiliev-Kontsevich. L'existence des associateurs se prouve de façon analytique, via la monodromie des équations KZ en théorie conforme des champs.
  Le but de cet exposé sera d'expliquer une construction combinatoire d'analogues elliptiques des associateurs, qui permettent d'obtenir des structures catégoriques induisant des représentations du groupe de tresse du tore, et des invariants d'entrelacs dans un tore épaissi. Le principal ingrédient de cette construction est une version catégorique de la trace (càd du 0-ième groupe d'homologie de Hochschild) d'un bimodule, qu'on appliquera à la catégorie des bimodules de Harish-Chandra pour G. Cette construction retrouve (et généralise) les représentations du groupe de tresse du tore obtenues par Calaque-Enriquez-Etingof à partir de la monodromie de généralisations des équations KZ. Suivant le temps disponible je mentionnerai la version universelle de cette construction et son extension en genre supérieur.
  
  
• 20/11/2023.
  Nicolina Istrati (Université d'Angers): Variétés de Vaisman avec première classe de Chern nulle
  Résumé : Les variétés de Vaisman forment une classe spéciale des variétés localement conformément kähleriennes. Elles ont un feuilletage holomorphe distingué qui est transversalement kählerien. De ce fait, beaucoup de propriétés de la géométrie kählerienne ont des analogues naturels pour les variétés de Vaisman. Dans cet exposé, je vais d'abord faire une introduction à la géométrie de Vaisman. Ensuite je discuterai le comportement des variétés de Vaisman dont la première classe de Chern s'annule. Cela concerne l'existence des métrique canoniques, leur groupe d'automorphismes et leur petites déformations.
  
  
• 06/11/2023.
  Federica Fanoni (Université Paris-Est Créteil): Classification de Nielsen-Thurston pour surfaces de type infini
  Résumé : Pour des surfaces fermées (ou plus en général dont le groupe fondamental est de type fini), Nielsen et Thurston ont donné une classification des homéomorphismes à homotopie près. Je rappellerai ce résultat et je discuterai les difficultés que l'on rencontre si on cherche à étendre cette classification aux surfaces de type infini (e.g. surfaces de genre infini). Je montrerai ce qui se passe si on se restreint aux homéomorphismes qui (de manière très imprécise) ne présentent pas de comportement pseudo-Anosov. Il s'agit d'un travail en commun avec Mladen Bestvina et Jing Tao.
  
  
• 16/10/2023.
  Giulio Beletti (Université Paris Saclay): The volume conjecture and generalized hyperbolic polyhedra
  Résumé : Broadly speaking, volume conjectures relate the asymptotic growth of certain quantum invariants of topological objects (manifolds, links, graphs) to the volume of some hyperbolic structure on the object. I will give an overview of the topic without assuming any previous knowledge of quantum invariants, and I will discuss how studying this conjecture naturally leads to questions in hyperbolic geometry, especially as it pertains to the volume of hyperbolic polyhedra and to a more general notion of hyperbolic tetrahedron.
  
  
• 02/10/2023.
  Richard Aoun (Université Gustave Eiffel): Mesures de probabilités stationnaires sur l'espace projectif
  Résumé : Le but de l'exposé est de donner une description qualitative des mesures de probabilité stationnaires sur l'espace projectif P(R^d), sans hypothèse d'irréductibilité. Ces dernières sont par définition des mesures stationnaires de chaines de Markov sur P(R^d) induites par une marche aléatoire iid sur le groupe général linéaire GL_d(R). Elles ont aussi une interprétation dynamique naturelle à l'aide d'un système dynamique croisé, et codent des informations sur l'action du semigroup engendré par la marche aléatoire sur P(R^d). Les résultats exposés généralisent ceux de de Bougerol-Picard (92) dans le cas d'action par affinités sur R^d et lient ceux de Furstenberg-Kifer (82) et ceux de Guivarc'h-Raugi (07) et Benoist-Quint (16) dans le cas d'une action irréductible sur R^d.
  Travail en collaboration avec Cagri Sert.
  
  
• 26/06/2023.
  Etienne Bonnafoux (Ecole Polytechnique): Arithméticité de groupe de monodromie de Konzevitch-Zorich pour certains familles de surface à petits carreaux de petit genre.
  Résumé : Un sous groupe de GL(n,Z) est dit arithmétique si il est d'indice finie dans sa fermeture pour la topologie de Zariski . Dans le cas contraire il est dit fin. Ici nous nous intéresserons au cas des groupes de de monodromies de Konzevitch-Zorich de surface à petit carreaux. Ces groupes apparaissent comme l'action de automorphisme affine sur l'homologie. Nous exhiberons plusieurs familles qui sont arithmétiques à l'aide d'un résultat de Singh et Venkataramana. Ce travail est commun avec Kany, Kattler, Matheus, Niño, Sedano-Mendoza, Valdez et Weitze-Schmithüsen.
  
  
• 12/06/2023.
  Michele Ancona (Université de Nice): Existence d'hypersurfaces algébriques réelles avec de grands nombres de Betti.
  Résumé : Dans cet exposé, on montrera que toute variété algébrique réelle de dimension n contient des hypersurfaces algébriques réelles de degré d dont les nombres de Betti croissent en un grand O de d puissance n, lorsque le degré d tend vers l’infini. Ceci est l'ordre de croissance maximal autorisé par l'inégalité de Smith-Thom. L’existence de telles hypersurfaces est obtenue à l’aide de techniques probabilistes.
  
  
• 17/04/2023.
  Nicolas Arancibia robert (AGM): Une introduction au programme de Langlands.
  Résumé : Dans cet exposé nous présenterons certains aspects du programme de Langlands, vaste réseau de conjectures visant à relier la théorie de nombres aux représentations de certains groupes. Nous commencerons par introduire certaines notions nécessaires pour pouvoir énoncer la conjecture de Langlands locale et globale. Nous étudierons d'abord ces conjectures dans le cadre du groupe général linéaire pour ensuite les généraliser à des groupes plus généraux.
  
  
• 27/03/2023.
  Bram Petri (Sorbonne Université): La programmation linéaire pour les surfaces hyperboliques.
  Résumé : Je parlerai des problèmes extrémaux sur la géométrie (spectrale) des surfaces hyperboliques et comment des méthodes de programmation linéaire basées sur la formule de trace de Selberg peuvent aider. Il s'agit d'un travail en commun avec Maxime Fortier Bourque.
  
  
• 13/03/2023.
  Charles Fougeron (Université Sorbonne Paris Nord): Dynamique des fractions continues et de ses généralisations.
  Résumé : Je ferai dans un premier temps un survol des propriétés dynamiques des fractions continues et une présentation partielle de ses généralisations sur l'intervalle et en dimensions supérieures.
  En seconde partie je présenterai une interprétation de ces dynamiques comme des marches aléatoires sur un graphe orienté et quelques résultats qui relient ces objets.
  
  
• 20/02/2023.
  Siarhei Finski (CNRS, Université Paris-Sud) : Submultiplicative norms and filtrations on section rings.
  Résumé : A section ring of a polarised projective manifold is the graded ring of holomorphic sections of the tensor algebra of the polarising line bundle. A graded norm on the section ring is called submultiplicative if the norm of products of holomorphic sections is smaller than the products of norms.
  Submultiplicative norms arise naturally in complex geometry: in the study of holomorphic extension problems, submultiplicative filtrations (related to K-stability) and the so-called Narasimhan-Simha pseudonorms on the canonical section rings.
  We show that submultiplicative norms on section rings of polarised projective manifolds are asymptotically equivalent to sup-norms associated with metrics on the polarising line bundle. We then derive several applications of this result to the aforementioned problems: the study of jumping measures of submultiplicative filtrations and the asymptotic study of Narasimhan-Simha pseudonorms.
  The holomorphic extension theorem of Ohsawa and Takegoshi, semiclassical analysis in complex geometry, pluripotential theory and functional-analytic study of projective tensor norms play a prominent role in our work.
  
  
• 13/02/2023.
  Yong Fang (CY université) : Asymétrie: du graphe infini à la géométrie de Finsler.
  Résumé : Je ferai un survol de mes quelques résultats récents autour de la notion de l'asymétrie. Notamment, j'aborderai la définition et l'étude de l'hyperbolicité des espaces métriques asymétriques au sens de Busemann, généralisant la notion classique de M. Gromov dans le cas métrique (symétrique); on sera ainsi naturellement conduit à étudier les graphes pondérés asymétriquement, dont beaucoup ne sont pas quasi-symétriquement équivalents aux espaces métriques classiques, ce qui donne un premier indice de la grande richesse géométrique cachée dans le monde asymétrique; pour terminer, j'expliquerai l'idée de la démonstration d'un résultat de rigidité globale, toujours lié à l'asymétrie, en géométrie de Finsler à courbure négative.
  
  
• 12/12/2022.
  Michal Wrochna (CY université) : Pseudo-Riemannian spectral zeta functions.
  Résumé : The spectral theory of the Laplace–Beltrami operator on Riemannian manifolds is known to be intimately related to geometric invariants. This kind of relationships has inspired many developments in relativistic physics (in particular in Quantum Field Theory), but a priori it only applies to the case of Euclidean signature. In contrast, the physical setting of Lorentzian manifolds has remained problematic for very fundamental reasons. In this talk I will present results that demonstrate that there is a well-posed pseudo-Riemannian spectral theory nevertheless, and moreover, it is related to geometry in a way that shares many analogies with the Euclidean case. In particular, we show that the scalar curvature can be obtained as the pole of a spectral zeta function. A key role in the proofs is played by the dynamics of the null geodesic flow and its asymptotic properties. (based on joint works with Nguyen Viet Dang and András Vasy).
  
  
• 28/11/2022.
  Ramanujan Santharoubane (Université d'Orsay) : Un plongement de l'algèbre skein d'une surface dans un tore quantique.
  Résumé : L'algèbre Skein d'une surface est une déformation de l'algèbre des fonctions algébriques sur la variété des SL(2,C) caractères de la surface. Je vais expliquer comment construire un plongement de l'algèbre skein d'une surface dans un tore quantique. Ce tore quantique peut être vu comme une déformation par quantification des fonctions sur l'espace de Teichmuller via les coordonnées de Frenchel-Nielsen. Nous verrons comment ce plongement permet de retrouver un Théorème de Frohman, Kania-Bartoszynska and Lê concernant la classification des représentations irréductibles de l'algèbre Skein. Aucune connaissance en topologie quantique n'est requise pour suivre cet exposé. Il s'agit d'un travail commun avec Renaud Detcherry.
  
  
• 07/11/2022.
  Louis Ioos (CY université) : Les quantifications géométriques de la sphère sont toutes semi-classiquement équivalentes.
  Résumé : Une quantification peut être vue comme un procédé systématique construisant un système de mécanique quantique à partir d'un système de mécanique classique donné, de telle sorte que l'on retrouve les lois de la mécanique classique à partir des lois de la mécanique quantique à la limite semi-classique, lorsque l'échelle tends vers l'infini. En particulier, on s'attend à ce que deux quantifications différentes d'un même système deviennent équivalentes à la limite semi-classique. Dans cet exposé, je vais décrire ce problème dans le cas de la sphère, et expliquer comment il se ramène à un problème élémentaire et d'intérêt indépendant concernant les quasi-représentations de l'algèbre de Lie de SU(2). Il s'agit d'un travail en commun avec David Kazhdan et Leonid Polterovich.
  
  
• 17/10/2022.
  Alessandro Giacchetto (IPHT) : The negative side of Witten’s conjecture.
  Résumé : In 2017, Norbury introduced a collection of cohomology classes on the moduli space of curves, and predicted that their intersection with psi classes solves the KdV hierarchy. In a joint work with N. Chidambaram and E. Garcia-Failde, we consider a deformation of Norbury’s class and, via the Givental–Teleman reconstruction theorem, we express such deformation in terms of kappa classes establishing new tautological relations recently proposed by Kazarian–Norbury. The recursive construction of these classes reduces in the limit to certain Virasoro constraints satisfied by Norbury’s class, equivalent to the KdV hierarchy. This result corresponds to spin -2 intersection numbers. In the same work, we establish the analogous results for general negative spin: we introduce some new cohomology classes, analogous to the Witten r-spin classes, get tautological relations through the Givental–Teleman reconstruction, and prove W-constraints equivalent to the r-KdV hierarchy.
  
  
• 03/10/2022.
  Carlos Matheus Santos (Ecole Polytechnique) : Dynamique elliptique sur certaines variétés de caractères relatives.
  Résumé : Dans cet exposé, on discutera la dynamique de l’action d’un élément hyperbolique de SL(2,Z) sur certains niveaux des variétés de SU(2) et SU(3) caractères d’un tore épointé. Il s’agit d’un travail en commun avec G. Forni, W. Goldman et S. Lawton.
  
  
• 12/09/2022.
  Takayuki (Koike Osaka Metropolitan University) : Semi-positive line bundles and holomorphic foliations.
  Résumé : Let X be a complex manifold.Our interest is in the relation between the (metric/curvature) semi-positivity of a line bundle on X and the dynamics of a holomorphic foliation on a (suitable) domain of X. In this talk, we explain some relations between them mainly when the line bundle and the foliation are concerning on a complex hypersurface of X whose normal bundle is topologically trivial.
  
  

(Peinture de front de page : Matin de juin près de Pontoise , Paul Cézanne)