Journées thématiques
de Cergy-Pontoise

• 9h15: Café d'accueil
• 10h-11h: Laura Monk (1/3)
• 11h15-12h15: Gilles Courtois (1/3)
  Déjeuner
• 13h45-14h45: Damien Gayet (1/3)
• 15h00-16h00: Laura Monk (2/3)
  Pause café
• 16h30-17h30: Gilles Courtois (2/3)

• 10h-11h: Damien Gayet (2/3)
• 11h15-12h15: Laura Monk (3/3)
  Déjeuner
• 13h45-14h45: Gilles Courtois (3/3)
• 15h00-16h00: Damien Gayet (3/3)

• Gilles Courtois (IMJ-PRG, Paris). Inégalité de Cheeger pour les 1-formes différentielles
  
  
• Damien Gayet (Institut Fourier, Grenoble). Topologie des ensembles nodaux aléatoires
  
  Résumé : Soit (M,g) une variété riemannienne compacte, et Δ le Laplacien associé. On sait que le spectre de Δ est positif, discret et non borné. Par ailleurs, le lieu d'annulation N(f) d'une fonction propre f de Δ, alias l' ensemble nodal de f, est un objet géométrique très naturel dont l'étude remonte aux cordes vibrantes du 16e siècle. Quand la valeur propre devient très grande, la géométrie de N(f) se complexifie et il devient difficile de la comprendre de façon déterministe. Au contraire, si au lieu d'une unique fonction propre, on considère une somme aléatoire f de fonctions propres de valeurs propres bornées par un réel L, il est possible, quand L devient grand, de décrire de façon statistique certaines observables géométriques ou topologiques de N(f), comme son volume ou le nombre de ses composantes connexes. J'expliquerai quelques résultats frappants de ce domaine qui s'est très rapidement développé ces 15 dernières années.
  
  
• Laura Monk (University of Bristol). Théorie spectrale des surfaces hyperboliques typiques
  
  Résumé : L'objectif de ce mini-cours est de décrire le spectre du laplacien sur une surfaces hyperbolique "typique". Nous allons nous intéresser à des propriétés vraies pour la plupart des surfaces, et non toutes les surfaces, grâce à un modèle de surfaces aléatoires développé (entre autres) par Mirzakhani.
  • J'expliquerai tout d'abord ce qu'est une surface hyperbolique compacte, et ce qu'on peut dire de son spectre a priori. J'insisterai en particulier sur les liens entre le spectre de la surface et sa géométrie. Nous étudierons une famille de surfaces "pathologiques", qui ne vérifient pas de bonnes propriétés, et motivent donc l'idée d'étudier des surfaces typiques.
  • Nous nous intéresserons ensuite à un modèle de surfaces aléatoires, le modèle de Weil-Pertersson. Après avoir défini le modèle, je présenterai des méthodes de calcul qui permettent d'étudier les surfaces aléatoires. En particulier, nous montrerons que les surfaces "pathologiques" exhibées plus tôt sont rares.
  • Enfin, nous utiliserons nos outils probabilistes, et la formule des traces de Selberg, pour décrire le spectre du laplacien sur une surface hyperbolique typique. Les résultats que nous discuterons sont tous des améliorations des résultats déterministes, faux pour nos surfaces pathologiques.